●Capítulo 1 Colecciones y mapeos
1 Colección
recolectar
Operaciones de conjuntos
Conjuntos finitos e infinitos
Conjunto de productos de Descartes
ejercicio
2 Mapeo y función
Cartografía
Función real unaria
Funciones elementales
Representación por partes, implícita y paramétrica de funciones
Propiedades simples de funciones
Dos desigualdades comunes
ejercicio
Capítulo 2 Límites de secuencia
1 Continuidad del sistema de números reales
Sistema de números reales
Números óptimos y mínimos
Supremo e Ínfimo
Apéndice Teorema del corte de Dedekind
ejercicio
Límite de secuencia 2
Secuencias y límites de secuencia
Propiedades del límite de una sucesión
Cuatro operaciones aritméticas sobre límites de secuencias
ejercicio
3 Cantidad infinita
Cantidad infinita
Por finalizar
ejercicio
4 Criterios de convergencia
Teorema de convergencia para secuencias monótonas acotadas
l y e
Teorema de anidamiento de intervalos cerrados
Columna infantil
Calle Bolzano-Weierstrass
Principio de convergencia de Cauchy
Teorema fundamental de los números reales
ejercicio
Capítulo 3 Límites de funciones y funciones continuas
1 Límite de función
Definición de límite de función
Propiedades de los límites de funciones
Cuatro operaciones aritméticas sobre límites de funciones
La relación entre el límite de función y el límite de secuencia
Límite unilateral
Ampliación de la definición de límite de función
ejercicio
2 Funciones continuas
Definición de función continua
Cuatro operaciones aritméticas de funciones continuas
Tipo de discontinuidad
Teorema de continuidad de la función inversa
Continuidad de funciones compuestas
ejercicio
3. El orden de las cantidades infinitesimales e infinitas
Comparación de cantidades infinitesimales
Número infinito de comparaciones
Cantidad equivalente
ejercicio
4 Funciones continuas en intervalos cerrados
Teorema de acotación
Teorema del valor máximo
Teorema de existencia del punto cero
Teorema del valor intermedio
El concepto de consistencia y continuidad
ejercicio
Capítulo 4 Diferenciación
1 Diferenciación y derivadas
Antecedentes de la derivación del concepto de diferenciación
Definición de diferenciación
Diferenciación y derivadas
ejercicio
2 Significado y propiedades de las derivadas
Antecedentes prácticos para la generación de derivadas
El significado geométrico de las derivadas
derivada unilateral
ejercicio
3 Derivadas, cuatro operaciones aritméticas y la ley de diferenciación de funciones inversas
Función derivada a partir de la definición
Cuatro operaciones aritméticas para derivadas
Regla de la derivada de la función inversa
ejercicio
4 Reglas de derivadas de funciones compuestas y sus aplicaciones
Reglas derivadas para funciones compuestas
Invariancia de forma de diferenciales de primer orden
Derivadas y diferenciales de funciones implícitas
Otras aplicaciones de la regla de la derivada para funciones compuestas
ejercicio
5Derivadas de orden superior y diferenciales de orden superior
Antecedentes prácticos y definición de las derivadas de orden superior
Reglas de cálculo para derivadas de orden superior
diferenciales de orden superior
ejercicio
Capítulo 5 El teorema del valor medio del cálculo diferencial y sus aplicaciones
1. Teorema del valor medio del cálculo diferencial
Valor extremo de una función y lema de Fermat
Teorema de Rolle
Teorema del valor medio de Lagrange
Uso del teorema del valor medio de Lagrang para analizar las propiedades de las funciones
Teorema del valor medio de Cauchy
ejercicio
Regla del Hospital 2L
Límites indeterminados y ley de L'Hospital
Límites que se pueden transformar en formas 0/0 o ∞/∞
ejercicio
Fórmula de Taylor y polinomio de interpolación 3
Fórmula de Taylor con resto PealqO
Fórmula de Taylor con resto de Lagrange
Polinomios de interpolación y residuos
Polinomio de interpolación de Lagrange y fórmula de Taylor
ejercicio
Fórmula de Taylor de 4 funciones y su aplicación
Fórmula de Taylor para la función en x=0
Aplicación de la fórmula de Taylor
ejercicio
5 ejemplos de aplicación
Problema extremo
Problema del valor máximo
Modelado matemático
Representación gráfica de funciones
ejercicio
6 Solución aproximada de la ecuación
Métodos analíticos y numéricos
dicotomía
Método de iteración de Newton
Preguntas de práctica computacional
Capítulo 6 Integral indefinida
1 El concepto y reglas de funcionamiento de la integral indefinida
Operación inversa de diferenciación - integral indefinida
Propiedades lineales de integrales indefinidas
ejercicio
2 Integración por sustitución e integración por partes
Integración por sustitución
Método de apuntamiento de división
Tabla de puntos básicos
ejercicio
3 Integral indefinida de una función racional y su aplicación
Integral indefinida de una función racional
El caso en que se puede transformar en una integral indefinida de una función racional
ejercicio
Capítulo 7 Integral definida
1 El concepto de integral definida y condiciones de integrabilidad
Antecedentes de la derivación del concepto de integral definida
Definición de integral definida
Darboux y
Condiciones necesarias y suficientes para la integrabilidad de Riemann
ejercicio
2 Propiedades básicas de las integrales definidas
ejercicio
3 Teorema fundamental del cálculo
La conexión entre diferencial e integral a partir de ejemplos
Teorema fundamental del cálculo: fórmula de Newton-Leibniz
Integración por partes e integración por sustitución para integrales definidas
ejercicio
4 Aplicación de la integral definida en el cálculo geométrico
Encontrar el área de una figura plana
Encuentra la longitud del arco de una curva
Encuentra el volumen de algunos cuerpos geométricos especiales
Hallar el área de una superficie de revolución
Curvatura de una curva
ejercicio
Apéndice Diagramas de curvas geométricas de uso común
5 ejemplos de aplicaciones prácticas del cálculo
Método diferencial
Encontrar la cantidad total de la distribución estática
Buscando un efecto dinámico
Modelo matemático simple y solución
De las leyes del movimiento planetario de Kepler a la ley de la gravitación universal
ejercicio
6 Cálculo numérico de integrales definidas
Integración numérica
Fórmula de cuadratura de Newton-Cotes
Complejización de la fórmula de cuadratura
Fórmula de cuadratura de tipo Gauss
Preguntas de práctica computacional
Capítulo 8 Integrales anormales
1 Concepto y cálculo de la integral anormal
Integral anormal
Cálculo integral anormal
ejercicio
Preguntas de práctica computacional
2 Método de juicio de convergencia de integral anormal
Principio de convergencia de Cauchy de integrales anormales
Método de juicio de convergencia de la integral anormal de una función no negativa
Método de juicio de convergencia de la integral anormal de una función general
Método de juicio de convergencia de la integral anormal de una función ilimitada
ejercicio
Respuestas y pistas para algunos ejercicios
índice

Este libro es resultado del "Plan de Reforma para el Contenido Docente y el Sistema Curricular de la Educación Superior para el Siglo XXI" del Ministerio de Educación y de su programa "Análisis Matemático: un Curso de Referencia para la Formación de Talentos en Ciencias Básicas", ambos del mismo Ministerio. Se trata de un libro de texto para el siglo XXI. Se basa en el libro "Análisis Matemático", publicado por la Facultad de Ciencias Matemáticas de la Universidad de Fudan durante más de 30 años, y está escrito para satisfacer las necesidades de la reforma de la enseñanza de las matemáticas. El autor ha combinado su experiencia docente a lo largo de los años y ha realizado reformas beneficiosas en el libro de texto en cuanto a sistema, contenido, perspectivas, métodos y procesamiento. Esta revisión complementó adecuadamente los recursos digitales. El libro se publica en dos volúmenes, uno superior y otro inferior. El volumen superior incluye ocho capítulos: conjuntos y aplicaciones, límites de secuencias, límites de funciones y funciones continuas, diferenciales, teorema del valor medio diferencial y su aplicación, integrales indefinidas, integrales definidas e integrales anormales. Este libro se puede utilizar como libro de texto para cursos de análisis matemático para carreras de matemáticas en colegios y universidades, y también se puede utilizar para otras carreras relacionadas.